一般相対性理論 (物理学選書 15)

一般相対性理論 (物理学選書 15) の詳細

本書は、416ページと厚く、非常に詳しく書かれている。日本語のものでは、最も詳しい本の1つだろう。例えば、Reissner-Weyl解（荷電粒子のまわりの静的・球対称な時空）や、Kerr解を導出している。また、第5章「不変変分論」,第8章「Einstein方程式の数学的性質」,第10章「重力場の理論の正準形式」は珍しい。特に、第5章は、本書の最も大きな特徴だろう。著書の内山 龍雄 先生は、Yang-Mills以前に、より一般の、重力場まで含めたゲージ理論（同著書の『一般ゲージ場論序説』を参照）にまで至っていた。それに至るまでに、不変変分論が重要な役割を果たす。著者は、相当に不変変分論を得意としていたのだろう。第5章では、大域的変換に対する作用の不変性からNoetherの第1定理を導出した後、局所的変換に対する作用の不変性からNoetherの第2定理を導出する。第1定理の応用として、例えばLorentz不変性から、全角運動量（スピン角運動量＋軌道角運動量）テンソルの保存則を導いている。第2定理の応用として、一般座標変換に対する不変性から、重力場のエネルギー擬テンソル密度を導き、漸近平坦な時空において、保存量を求めている。この部分は、必見だろう。本書の第5章は、不変変分論の参考書として紹介されることが多い（同著者の『一般ゲージ場論序説』第2編「不変変分論」の方が更に詳しい）。第8章「Einstein方程式の数学的性質」の議論も珍しい。まず、Einstein方程式を初期値問題として解くことを議論している。そして例えば、Schwarzschild時空では、事象の地平線を境に、曲率テンソルが不連続に変化することを解説する。次に、4脚場を導入し、（Weyl）スピノール算を解説した後、時空の分類(Penroseの方法によるPetrovの分類)を議論している。この解説は日本語の本では非常に珍しい。第10章「重力場の理論の正準形式」では、場の正準形式を概説するところから始まり（この部分はありがたい）、Dirac括弧を使った議論にまで至る。cf.この章の議論は、同シリーズの内山・山内・中野『一般相対性および重力の理論 (1967年) (物理学選書〈第10〉)』第9章「重力理論の正準形式と量子化」の方が詳しいと思う。ただ、本書の方が分かりやすいだろう。この本は本書に似ているが、この本には「実験的検証」の章がある。第9章「宇宙論への応用」（pp.332-360）にも鋭い洞察が見られるが、本書は1978年に書かれたものであるから、物足りないのは仕方がない。第2章「テンソル解析」（pp.24-93）は非常に丁寧である。テンソル密度についても詳しく解説している（本書では、密度量をよく使い、太字で書いて区別している）。また、接続を計量で表わすさい、トーションがある場合や、Weyl空間の場合の議論もしている。また、次の定理を証明している：計量テンソルおよびその1階,2階微分係数から作られ、2階微分係数については1次式であるスカラー量は、aR+b だけだある（a,bは任意の定数であり、Rはスカラー曲率）。また、計量テンソルおよびその1階,2階微分係数から作られ、2階微分係数については1次式である対称2階テンソルで、発散がゼロのものは、a,bを任意の定数として、a×(アインシュタインテンソル) + b×(計量テンソル) だけである。本書は、数学的な本ではない。すなわち、微分形式は使わないし、一般のn次元での議論はしない。日本語の本では、小玉英雄・佐藤文隆『一般相対性理論 (現代物理学叢書)』が唯一の数学的な本（教科書というより、参考書）だろう。微分形式を駆使している。小玉 英雄『相対性理論 (物理学基礎シリーズ)』,『相対性理論 (朝倉物理学選書)』や、佐々木 節『一般相対論 (物理学教科書シリーズ)』は、少しだけ数学的である。前二者は、微分形式も時々使う。また、ともに珍しい議論が多い。培風館のものは、日本語の標準的（全般的）なものでは最も詳しい教科書（の一つ）だろう。朝倉書店のものは、『物理学大事典』の第6章の単行本化で、その性質を残している。スピノールも解説している。佐々木 節 氏の本は、数学的側面に絞って丁寧に解説している系統的な本である。添え字に反対称化記号[]をよく使う。また、冨田 憲二『相対性理論』（パリティ物理学コース）も詳しい本らしい。須藤 靖『もうひとつの一般相対論入門』は、球対称時空, 重力波, 重力レンズに話題を絞っており、詳しく、丁寧である。また、例題集は39ページにもわたる。前田 恵一『重力理論講義』（サイエンス社,SGC-63）は、進んだ話題を多く扱っている（読み物としても楽しめるだろう）。また、藤井 保憲『超重力理論入門』の第1章は、トーションと4脚場のある場合の理論を学ぶのに良いだろう。微分形式は使っていない。本書を読まれた方は、同著書の『一般ゲージ場論序説』も読まれることをお勧めする。この本には、Weyl理論, Kaluza-Klein理論の詳しい解説もある。本書の第5章は、この本の第2編の一部と考えられる。なお、同著者の『相対性理論 (物理テキストシリーズ)』はコンパクトな良書で、特殊相対論の記述が特に良い。著書も言っているが、これは本書への良い入門書だろう。本書は、この本の特殊相対論の部分までの知識があれば読めるし、『一般ゲージ場論序説』は、この本ぐらいの知識があれば読める。